[분석화학] 등흡광점(isosbestic point)에서 두 화학종의 몰 흡광계수가 같은 이유

분광광도법을 이용하여 분석하는 방법 중에 등흡광점(흡광도가 같은 파장)을 이용하면 화학반응의 평형상수를 구할 수 있고, 반응속도 상수를 구할 때도 이용이 된다. 

 

등흡광점은 평형상태에서 단 두 화학종만이 존재할 때 발생하고,

두 화학종이 X와 Y이고 $[X]\,+\,[Y]\,=\,Constant$일 때

등흡광점에서    $\varepsilon_{X}\,=\,\varepsilon_{Y}\,=\varepsilon$ 이 성립한다. 

 

분석화학 교재를 보다보면 왜   $\varepsilon_{X}\,=\,\varepsilon_{Y}\,=\varepsilon$ 인지에 대해 설명하지 않는다. 

 

그래서 내가 직접 그 이유를 수식적으로 밝혀본다. 

 

 

 

다음과 같은 화학반응식이 있다고 해보자. 

 

$$\, X\, \rightleftarrows\,Y\,$$

 

반응물과 생성물의 계수가 같으므로,   $  [X]_0\,=\,[X]\,+\,[Y]\,= \,Constant $ 가 성립한다. 

 

Beer-Lambert 법칙에 의해 등흡광점(흡광도가 같은 파장)에서 다음과 같은 식이 성립한다. 

 

 

$$ A\,=\,b\times\left(\varepsilon_X[X]\,+\,\varepsilon_Y[Y]\right)$$

$$ A\,=\,b\times\left(\varepsilon_X[X]'\,+\,\varepsilon_Y[Y]'\right)$$

 

두 식을 연립하여 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\varepsilon_X\left([X]\,-[X]')\right)\,+\,\varepsilon_Y\left([Y]\,-\,[Y]'\right)\,=\,0 \;\iff\;-\frac{\varepsilon_X}{\varepsilon_Y}\,=\,\frac{[Y]\,+\,[Y]'}{[X]\,-[X]'}$$

 

 

$  [X]_0\,=\,[X]\,+\,[Y]\,= \,Constant $ 이므로 

 

$[X]\,+\,[Y]\,=\,[X]'\,+[Y]'\,=\,C$ 이다. 

 

$[X]\,+\,[Y]\,=\,C$

와

$[X]'\,+[Y]'\,=\,C$

를 연립하면 

 

$$[X]\,-[X]'\,=\,-\left([Y]\,+\,[Y]'\right)\;\iff\;\frac{[Y]\,+\,[Y]'}{[X]\,-[X]'}\,=\,-1$$

 

그러므로 다음 식이 성립한다. 

 

 

$$-\frac{\varepsilon_X}{\varepsilon_Y}\,=\,\frac{[Y]\,+\,[Y]'}{[X]\,-[X]'}\,=\,-1$$

 

$$\therefore\;\;\frac{\varepsilon_X}{\varepsilon_Y}\,=\,1\;\;\iff\;\;\varepsilon_X\,=\,\varepsilon_Y$$

 

 

따라서 등흡광점에서 두 화학종만이 존재하고 그 농도의 합이 일정할 때 

두 화학종의 몰 흡광계수는 같다.