[임용고시기출] 2021학년도 화학 전공B 6번 기출풀이

출처: 한국교육과정평가원

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< 알아야하는 개념(파트-개념) >

물리화학

양자론 - 상자 속 입자(A particle in a box)

 

< 풀이 >

첫번째 자료는 상자에 대한 정의이다. 상자의 크기를 a 로 지정함. 

두번째 자료는 상자 속 입자의 경계조건이다. 

 

파동함수가 이미 정규화되어 있으므로, 바로 대입하여 해결하면 된다. 

 

 

① 상자 속 입자의 위치 기댓값 < $x$ >

$ <\,x\,>\,=\,\int_{0}^{a} \psi \cdot x \cdot \psi' \, dx\,=\,\int_{0}^{a} \left (\sqrt{\frac{2}{a}}\right )^2 \cdot \,x\,\cdot \,\sin^{2}{\left ( \frac{n\pi x}{a}\right )} \, dx\,=\,\frac{2}{a} \cdot \,\frac{a^2}{4}\,=\,\frac{a}{2} $

 

$$ \therefore\; <\,x\,>\,=\,\frac{a}{2} $$

 

 

 

② 선형 운동량($p_x$)의 기댓값 < $p_x$ >

$ \begin{align} <\,p_x\,>\,&=\,\int_{0}^{a} \psi \times -i\hbar \times {d\psi \over dx}\;dx\\\\&=\,\int_{0}^{a} \left ( \sqrt{\frac{2}{a}}\right )^{2} \times \sin{\left ( \frac{n\pi x}{a} \right )} \times -i\hbar \times \frac{n\pi}{a}\times \cos{\left ( \frac{n\pi x}{a} \right )}\,dx \\\\&=\,\int_{0}^{a} \frac{2}{a} \times \frac{n\pi}{a} \times -i\hbar \times  \sin{\left ( \frac{n\pi x}{a} \right )} \times \cos{\left ( \frac{n\pi x}{a} \right )}\,dx \\\\&=\,0 \end{align}$

 

 

 

③ $\Delta x $

$ \begin{align} \Delta x\,&=\,\sqrt{<\,x^2\,>\,-\,<\,x\,>^2}\\\\&=\,\sqrt{\frac{a^2}{4 n^3 \pi^3} \left ( \frac{4 n^3 \pi^3}{3}\,-\,2n\pi \right ) \,-\,\frac{a^2}{4}} \\\\&=\,\sqrt{\frac{a^2}{12}\,-\,\frac{a^2}{2 n^2 \pi^2}} \end{align}$

 

$$\therefore\;  \Delta x\,=\,\sqrt{\frac{a^2}{12}\,-\,\frac{a^2}{2 n^2 \pi^2}} $$

 

 

 

 

④ $\Delta p_x$

$\Delta p_x \,=\,\sqrt{<\,p_x^2\,>\,-\,<\,p_x\,>^2}$ 이므로  $<\,p_x^2\,>$ 를 먼저 구해보겠다. 

 

1) $<\,p_x^2\,>$ 구하기

 

$<\,p_x^2\,>\,=\,\int_{0}^{a} \psi \times -i\hbar \times -i\hbar \times {d^2 \psi \over dx^2} \, dx $ 

 

 

${d^2 \psi \over dx^2}$를 먼저 구하여 대입하겠다. 

 

 

$ \begin{align} {d^2 \psi \over dx^2}\,&=\,{d \over dx} \left ( \sqrt{\frac{2}{a}} \cdot  \frac{n\pi x}{a} \cdot \cos{ \frac{n\pi x}{a})} \right ) \\\\&=\, \sqrt{\frac{2}{a}} \times \frac{n \pi}{a} \times \left ( \cos{ \frac{n\pi x}{a} }\,-\,x \cdot \frac{n \pi}{a} \cdot \sin{ \frac{n \pi x}{a} } \right ) \end{align} $

 

 

$\begin{align}<\,p_x^2\,>\,&=\,\int_{0}^{a} \psi \times -i\hbar \times -i\hbar \times {d^2 \psi \over dx^2} \, dx\\\\&=\,\int_{0}^{a}  \sqrt{\frac{2}{a}} \times  \sin{ \frac{n \pi x}{a} } \times -\hbar^2 \times  \sqrt{\frac{2}{a}} \times \frac{n \pi}{a} \times \left ( \cos{ \frac{n\pi x}{a} }\,-\,x \cdot \frac{n \pi}{a} \cdot \sin{ \frac{n \pi x}{a} } \right )\,dx \\\\&=\, -\frac{2n\pi \hbar^2}{a^2}\, \left [ \int_{0}^{a} \sin{ \frac{n\pi x}{a}} \times \cos{ \frac{n\pi x}{a} }\,dx\,-\,\frac{n\pi x}{a} \int_{0}^{a} x \sin^{2}{ \frac{n\pi x}{a}} \, dx \right ]\\\\&=\,-\frac{2n\pi \hbar^2}{a^2}\, \left ( 0\, - \frac{n \pi}{a} \times \frac{n^2}{4}\right ) \,=\,\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2a} \end{align} $

 

 

 

$$\therefore\;  <\,p_x^2\,>\,=\,\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2a} $$

 

 

 

 

⑤ $\Delta x \Delta p_x$ 의 최솟값 

$\Delta x \Delta p_x\,=\,\sqrt{\frac{a^2}{12}\,-\,\frac{a^2}{2 n^2 \pi^2}} \times \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2a} \,=\,\sqrt{\frac{n^2 \pi^2 \,-\,6}{12}} \times n\pi\hbar^2$  이다. 

 

$\Delta x \Delta p_x$는 n에 대한 함수이므로, 최솟값은 n=1일 때이다. 

 

n=1 을 대입하면 다음과 같다. 

 

$$ \therefore \; \Delta x \Delta p_{x (minimum)}\,=\,\pi\hbar^2\sqrt{\frac{\pi^2 \,-\,6}{12}}$$